Percobaan 9. Transformasi Laplace, Fourier, dan Z

PERCOBAAN 9

TRANSFORMASI LAPLACE, TRANSFORMASI FOURIER 
DAN TRANSFORMASI Z

Tujuan Praktikum

• Mahasiswa dapat mentransformasikan dari fungsi waktu menjadi fungsi Laplace, Fourier, dan Z.
• Mahasiswa dapat membuat program dalam bahasa MATLAB untuk mentransformasikan dari fungsi waktu menjadi fungsi Laplace, Fourier, dan Z                                                                     ___________________________________________________

9.1  Dasar Teori

9.1.1  Transformasi Laplace

Transformasi Laplace merupakan suatu model matematis yang dapat dipergunakan untuk mempemudah dalam penghitungan matematis. Definisi Tranformasi Laplace

 

     

 Tabel 1. Sifat Transformasi Laplace

	Teorema	Domain Waktu	Domain Frekuensi Komplek
1	Linieritas	c1f1(t)+c2f2(t)+… …+cnfn(t)	c1F1(s) + c2F2(s) +...... ...... + cnFn(s)
2	Pergeseran Waktu	f(t-a)uo(t-a)	e-asF(s)
3	Pergeseran Frekuensi	e-asf(t)	F(s+a)
4	Penskalaan Waktu	f(at)
5	Diferensiasi Waktu		sF(s)-f(0-)
6	Diferensiasi Frekuensi
7	Integrasi Waktu
8	Integrasi Frekuensi
9	Periodasitas Waktu	F(t+nT)
10	Teorema Nilai Inisial
11	Teorema Nilai Akhir
12	Konvolusi Wktu	f1(t)*f2(t)	F1(s)F2(s)
13	Konvolusi Frekuensi	f1(t)f2(t)

 Tabel 2. Transformasi Laplace untuk beberapa fungsi yang umum digunakan:

	f(t)	F(s)
1	u0(t)	1/s
2	tu0(t)	1/s2
3	tnu0(t)	n!/sn+1
4		1
5		e-as
6	e-atu(t)
7	tne-atu0(t)
8
9
10	e-at
11	e-at

Penggunaan Laplace

Misal, dalam suatu analisis sistem dengan transformasi Laplace, didapat sinyal keluaran memiliki memiliki bentuk dalam domain kompleks sebagai berikut.

 

  

Untuk mendapatkan nilai di domain waktu, digunakan fraksionalisasi atau teorema residu kemudian transformasi balik. Biasanya, setelah dipecah menjadi sejumlah suku pecahan, transformasi balik menjadi mudah karena bentuknya adalah bentuk umum.

 

 

  

 

Catatan:  Pole adalah nilai yang membuat nilai fungsi menjadi tak berhingga

Zero adalah nilai yang membuat nilai fungsi menjadi nol

9.1.2  Transformasi Fourier

Definisi

 Tabel 3.  Sifat transformasi Fourier:

	f(t)	F(ω)
Linieritas	a1f1(t)+a2f2(t)+....	a1F1(ω)+ a2F2(ω)+....
Simetri	f(t)	2πf(-ω)
Penskalaan Waktu	fa(t)
Pergeseran Waktu	fa(t-t0)	F(ω)e-j ωto
Pergeseran Frekuensi	e-j ωtof(t)	F(ω- ω0)
Diferensiasi Waktu
Diferensiasi Frekuensi	(-jt)nf(t)
Integrasi Waktu
Fungsi Konjugate	f*(t)	F*(-ω)
Konvolusi Waktu	f1(t)+f2(t)	F1 (ω).F2(ω)
Konvolusi Frekuensi	f1(t).f2(t)
Area under
Area under F(w)	F(0)=
Teorema Parseval

Tebl 4. Fungsi dalam bentuk transformasi Fourier yang sering digunakan

f(t)	F(ω)
δ (t)	1
δ (t-t0)	e-jωto
1	2πδ(ω)
e-jωto	2πδ(ω- ωo)
sgn(t)	2/(j(ω)
uo(t)
cos ωot	fπ[δ(ω- ωo)+( ω+ ωo)]
sin ωot	fπ[δ(ω- ωo)-( ω+ ωo)]
e-atuo(t) a>0	a>0
te-atuo(t) a>0	a>0
e-atcos ωotuo(t) a>0	;  a>0
e-atsin ωotuo(t) a>0
A[uo(t+T)-uo(t-T)]	2AT

7.1.3  Transformasi Z

Definisi:

                    

Tabel 5.  Sifat transformasi z

Teorema	Domain Waktu	Transformasi Z
Linieritas	af1[n]+bf2[n]+....	aF1(z)+bF2(z)+....
Pergeseran dari x[n]uo[n]	f[n-m]u0[n-m]	z-mF(z)
Geser Kanan	f[n-m]	z-mF(z)+
Geser kiri	f[n+m}	zmF(z)+
Perkalian dengan an	anf[n]
Perkalian dengan e-naT	e-naTf[n]	F(eaTz)
Perkalian dengan n	nf[n]
Perkalian dengan n2	n2f[n]
Penjumlahan dalam waktu
Konvolusi waktu	f1[n]*f2[n]	F1(z)*F2(z)
Teorema Nilai Inisial
Teorema Nilai Akhir

Tabel 6. Transformasi Z dari fungsi yang sering digunakan

f(t)	F(ω)
δ (n)	1
δ ( n-m)	z-m
anu0[n]
u0[n]
(e-naT)u0[n]
(cos naT)uo[n]
(sin aT)uo[n]
(ancos naT)uo[n]
(ansin naT)uo[n]
uo[n]=uo[n-m]
nuo[n]	z/(z-1)2
n2uo[n]	Z(z+1)/(z-1)3
[n+1]uo[n]	Z2/(z-1)2
annuo[n]	(az)/(z-a)2
ann2uo[n]	Az(z+a)/(z-a)3
ann[n-1]uo[n]	2az2/(z-a)3

9.2. Peralatan

- PC multimedia yang sudah dilengkapi dengan OS Windows

- Perangkat Lunak Matlab yang dilengkapi dengan Tool Box DSP

9.3. Langkah Percobaan

9.3.1  Langkah Percobaan Transformasi Laplace

Sebagai contoh, kita akan menentukan fungsi Laplace berikut ini dalam domain waktu:

Dari Tabel, didapat bahwa

Maka:

 

Dengan Matlab, fungsi yang bisa digunakan adalah factor(polynom), residue(num,den),

ilapace(Fs).

Factor

>> syms s

>> factor(s^3 + 12*s^2 + 44*s + 48)

ans =

(s+4)*(s+2)*(s+6)

Fungsi factor memiliki kekurangan ketika harus memfaktorkan suatu polinom bila ada akar yang berupa bilangan kompleks. Sebagai gantinya, gunakan fungsi roots(polynom).

Residue

>> Ns=[3 2];

>> Ds=[1 3 2];

>> [r p k]residue(Ns,Ds)

r =

     4

    -1

p =

   -2

   -1

k =

     []

Ilaplace

>> syms s

>> Fs=(3*s+2)/(s^2+3*s+2);

>> ft=ilaplce(Fs)

ft = 4*exp(-2*t)-exp(-t)

7.3.3  Langkah Percobaan Fourier

Transformasi Fourier dengan Matlab

>> syms t v w x;

>> ft=exp(0.5*(-t^2));

>> Fw=fourier(ft)

Fw =

2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-1/2*w^2)

>> pretty(Fw)

1/2 1/2 2

2 pi exp(- 1/2 w )

>> ft=ifourier(Fw)

ft =

exp(-1/2*x^2)

7.3.3  Langkah Percobaan Transformasi Z

Berikut ini ditunjukkan contoh transformasi Z, termasuk penurunannya. Silakan diamati / dimengerti langkah-langkah penurunannya, lanjutkan dengan ujicoba pembuatan program MATLAB-nya.

Gunakan metoda fraksionalisasi untuk inverse z transform dari fungsi berikut:

 Penyelesaian

 

 

 

Dari tabel bentuk umum, didapat

 

Sehingga

f[n]=2(0,5)ⁿ-9(0,75)ⁿ+8

Berikut ini adalah pemeriksaan dengan Matlab

>> syms n z;

>> fn=2*(0.5)^n-9*(0.75)^n+8;

>> Fz=ztrans(fn)

Fz =

4*z/(2*z-1)-12*z/(4/3*z-1)+8*z/(z-1)

>> simple(Fz)

ans =

8*z^3/(2*z-1)/(4*z-3)/(z-1)

>> iztrans(Fz)

ans =

2*(1/2)^n-9*(3/4)^n+8

9.4 Analisis Data

Seperti biasa diakhir pertemuan anda harus menyelesaikan laporan, dengan memberikan bukti-bukti bahwa anda telah melakkan pecobaan dan jangan lupa menjawab pertanyan atau perintah yang telah disediakan pada percobaan di atas.

9.5 Tugas

1.      Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi impul satuan [d(t-t_o)]

2.      Tentukan transformasi Fourier dari sebuah fungsi singularitas yang dikenal sebagai fung si signum, sgn (t), yang disefinisikan oleh  :

           sgn (t)  =  u(t) – u(-t)

_3.        Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi tangga satuan [u(t)].

4.      Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi eksponensial e^-at u(t).

_5.        Misalkan v_i(t) = 10 e^-2t u(t) V dalam jaringan linier dengan h(t) = 2,5 e^-8t u(t). carilah : H(jw), V_i(jw); V_o(jw), dan kemudian : (a) v_o(0,5) ; (b) v_o(1,5); (c) v_o,maks

6.      Pada sebuah sistem linier diketahui mempunyai fungsi sistem [H(jw)] = .Tentukanlah respons dari sistem linier tersebut, bila masukannya adalah : (a) d(t); (b) u(t) ;  (c) sgn(t)