Praktikum 7. Transformasi Fourier Diskrit

PERCOBAAN 7

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Tujuan Praktikum

-  Mahasiswa mampu memahami konsep dasar transformasi sinyal waktu diskrit

-  Mahasiswa dapat menyusun program simulasinya.

7.1 Teori Dasar

Sebelum kita berbicara tentang transformasi Foureir Diskrit atau dalam bahasa aslinya disebut sebagai discrete Fourier transform (DFT), marilah kita kembali sejenak tentang sesuatu yang sudah popular di telinga kita yaitu Fourier transform (FT). Transformasi Fourier untuk sebuah sinyal waktu kontinyu x(t) secara matematis dituliskan sebagai

Sementara DFT dibentuk dengan menggantikan integral berhingga dengan sederetan jumlahan pada suatu nilai berhingga:

Simbol Δ memiliki arti equal by definition atau dalam bahasa yang mudah bagi kita adalah bahwa sisi kiri secara definisi akan senilai dengan sisi kanan. Sementara x(tn) selanjutnya akan kita kenal juga sebagai x(n), yang merupakan notasi sample ke-n pada sinyal input. X(ωk) juga dapat dijumpai sebagai X(k) yang merupakan spektral sample ke-k.

Parameter lain yaitu:

•  jΔ√ −1 = merupakan dasar dari bilangan komplek.

•  = 2,718281828 .....

• ωk = kΩ = merupakan sample frekuensi ke-k. Sedangkan  Ω  merupakan  interval  sampling  dalam 
  radian dan memiliki nilai Ω =2π/NT.

•  N = merupakan sample frekuensi yang digunakan.

•  T = 1/f_s = 1/(sampling rate).

Dengan melihat persamaan di atas jelas bagi kita bahwa DFT memiliki basis sinyal sinusoda dan merupakan bentuk komplek. Sehingga representasi domain frekuensi yang dihasilkan juga akan memiliki bentuk komplek. Dengan demikian anda akan melihat adanya bagian real dan imajiner, dan bisa juga hasil transformasi direpresentasikan dalam bentuk nilai absolute yang juga dikenal sebagai magnitudo respon frekuensinya dan magnitudo respon fase. Selanjutnya untuk proses pengolahan sinyal digital, DFT mutlak diperlukan karena kita akan berhubungan dengan sinyal waktu diskrit, yang merupakan bentuk tersampel dari sinyal waktu kontinyu. Dan dalam praktikum ini kita akan memanfaatkan bentuk dasar library fft yang merupakan pengembangan dari algorithma dasar DFT. Mengapa kita menggunakan fft? Hal ini bisa dijawab dengan anda masuk ke Matlab command like dan ketikkan help fft. Akan muncul keterangan:

FFT Discrete Fourier transform.

FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector X. For

matrices, the FFT operation is applied to each column. For N-D

arrays, the FFT operation operates on the first non-singleton

dimension.

FFT(X,N) is the N-point FFT, padded with zeros if X has less

than N points and truncated if it has more.

Cukup jelas bagi kita mengapa kita bisa memanfaatkan library fft dalam praktikum kali ini.

7.2  Peralatan

       -  PC multimedia yang sudah dilengkapi dengan OS Windows

       -  Perangkat Lunak Matlab yang dilengkapi dengan Tool Box DSP

7.3  Langkah Percobaan

Sebelum memasuki bentuk DFT yang benar-benar representatif dalam pengolahan ke domain frekuensi yang sebenarnya, kita akan memulai dengan langkah yang paling dasar dengan tujuan anda akan merasa lebih mudah memahaminya bagaimana sebenarnya konsep DFT bekeja.

7.3.1  Dasar Pembentukan DFT

Di sini kita mulai dengan mencoba melihat bentuk transformasi Fourier dari sinyal cosinus yang memiliki periode eksak didalam window yang terdapat pada sampel. Langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Bangkitkan sinyal sinus x(t) = 3cos(2πt), pada t = nT. Untuk suatu n = 0~ 99, dan T=0,01.

    %File Name: dft_1.m

    n=0:199;

    T=0.01;

    x_t=3*cos(2*pi*n*T);

    plot(n,x_t)

    grid;

2. Untuk sementara anda jangan memperhatikan apakah sinyal yang muncul sesuai dengan nilai sebenarnya. Biarkan axis dan ordinatnya masih dalam angka seadanya. Anda ganti bagian perintah plot(n,x_t) dengan stem(n,x_t). Coba perhatikan apa yang anda dapatkan.

3. Untuk memulai langkah program DFT, kita mulai dengan membuat program baru, yang mengacu pada bentuk persamaan berikut ini.

Atau dalam bentuk riel dan imaginer adalah:

%File Name: dft_2.m

clear all;

N=200;

nn=N-1;

for k=1:200;

x_n=0.0;

for n=1:nn

x_n = (3*cos(0.02*pi*n)).*(exp(-j*k*2*pi*n/200)) + x_n;

end

yR(k)=real(x_n);

yI(k)=imag(x_n);

magni_k(k)=sqrt(real(x_n).*real(x_n) +imag(x_n).*imag(x_n));

end

figure(1)

stem(yR)

axis([0 200 0 800])

xlabel('indek fekuensi')

title('Bagian Real')

grid;

figure(2)

stem(yI)

axis([0 200 0 800])

xlabel('indek frekuensi')

title('Bagian Imajiner')

grid;

Anda perhatikan ada dua nilai non-zero dalam domain frekuensi indek, tepatnya pada n=2 dan n=N-2 atau 198, masing-masing bernilai 300. Nilai ini merepresentasikan AN/2, dimana A=3 yang merupakan amplitudo sinyal cosinus dan N = 200 merupakan jumlah sample yang digunakan. Sementara bagian imajiner bernilai nol semua, mengapa?

Gambar 10.1. Bagian Real pada Domain Frekuensi

Anda perhatikan ada dua nilai non-zero dalam domain frekuensi indek, tepatnya pada n=2 dan n=N-2 atau 198, masing-masing bernilai 300. Nilai ini merepresentasikan AN/2, dimana A=3 yang merupakan amplitudo sinyal cosinus dan N = 200 merupakan jumlah sample yang digunakan. Sementara bagian imajiner bernilai nol semua, mengapa?

Gambar 10.2. Bagian Imajiner pada Domain Frekuensi

4. Coba ulangi langkah 1-3 dengan merubah dari sinyal cosinus menjadi sinyal sinus. Untuk langkah k-1 anda rubah

x_t=3*cos(2*pi*n*T);  menjadi  x_t=3*sin(2*pi*n*T);

Demikian juga pada untuk langkah ke-3 bentuk

x_n = (3*cos(0.02*pi*n)).*(exp(-j*k*2*pi*n/200)) + x_n;

menjadi

→ x_n = (3*sin(0.02*pi*n)).*(exp(-j*k*2*pi*n/200)) + x_n;

Apa yang anda dapatkan?

5. Ulangi langkah 1-3 dengan merubah nilai sample N=200, menjadi N=1000. Apa yang anda dapatkan?

7.3.2  Zero Padding

Kita mulai dengan sebuah sinyal waktu diskrit berupa sekuen unit step.

Gambar 10.3. Sekuen Unit Step

Apabila kita menggunakan transformasi Fourier pada sinyal ini, akan diperoleh bentuk seperti berikut:

Gambar 10.4. Transformasi Fourier Sekuen Unit

Untuk memahami konsep zero padding pada DFT, anda ikuti langkah-langkah percobaan berikut ini.

1. Buat program baru untuk pembangkitan sekuen unit step dan gunakan juga  fft  untuk  memperoleh
    nilai DFT.

2. Modifikasi program anda dengan menambahkan  nilai  nol  sebanyak 4 angka  di  belakang  sekuen
    bernilai satu tersebut.

3. Modifikasi program anda sehingga nilai nol dibelakang sekuen unit step menjadi 12, catat apa yang
    terjadi.

4. Lanjutkan penambahan nilai nol menjadi 16, dan catat apa yang terjadi.

Gambar 10.5. Sekuen Unit Step dan Hasil DFT

7.3.3  Representasi Dalam Domain Frekuensi

Cara yang paling mudah dalam menguji program transformasi ke domain frekuensi adalah dengan menggunakan sinyal bernada tunggal, yaitu sinyal dengan fungsi dasar sinusoida. Untuk itu coba anda perhatikan dengan yang telah anda lakukan pada percobaan ke-1, yaitu pada pemahaman dasar DFT. Disitu sinyal cosinus yang ditransformasikan menghasilkan bentuk dalam tampilan indek frekuensi. Dengan mengkobinasikan percobaan ke-1 dan percobaan ke-2 kita akan mampu menyusun sebuah program DFT yang mampu digunakan untuk pengamatan sinyal waktu diskrit dan melihat tampilannya dalam domain frekuensi. Untuk itu ikuti langkah berikut.

1. Susun sebuah program baru dengan algorithma yang merupakan kombinasi dari percobaan ke-1
    dan percobaan ke-2.

%prak_SS_7_2.m

% zero-padded data:

clear all

T = 128; % sampling rate

zpf = 2; % zero-padding factor

n = 0:1/T:(T-1)/T; % discrete time axis

fi = 5; % frequency

xw = [sin(2*pi*n*fi),zeros(1,(zpf-1)*T)];

nn=length(xw);

k=0:nn-1;

% Plot time data:

subplot(2,1,1);

plot(zpf*k/nn,xw);%normalisasi absis domain waktu

axis([0 zpf -1.1 1.1])

xlabel('domain waktu (detik)')

% Smoothed, interpolated spectrum:

X = fft(xw);

spec = abs(X);

f_X=length(X)

f=0:f_X-1;

% Plot spectral magnitude:

subplot(2,1,2);

plot(f/T,spec);

axis([0 T/T 0 100])

xlabel('domain frekuensi (x pi), ternormalisasi terhadap frekuensi sampling')

Gambar 10.6. Sinyal Sinus dalam Domain Waktu dan Hasil DFT

2. Lakukan beberapa modifikasi, sehingga tampilannya nilai frekuensi dalam Hz.

    % Plot spectral magnitude:

    subplot(2,1,2);

    plot(f/2,spec);

    axis([0 T/2 0 100])

    xlabel('domain frekuensi')

   Amati dan catat hasilnya.

3. Lakukan modifikasi kembali untuk mendapatkan nilai magnitudo dalam besaran dB

   % Plot spectral magnitude:

   subplot(2,1,2);

   plot(f/2,spec);

   axis([0 T/2 0 40])

   xlabel('domain frekuensi dalam dB')

   grid

 
  Amati dan catat hasilnya

4. Sekarang coba bangkitkan sebuah sinyal sinus dan dapatkan nilai frekuensinya dengan memanfaat-
    kan DFT. Dimana sinyal sinus ini memiliki bentuk dasar sebagai berikut.

   
   x(n) = (1/64)*(sin(2*π*n/64)+ (1/3)*sin(2*π∗15*n/64))

7.4 Analisis Data

Dari apa yang telah anda lakukan anda catat hasilnya, analisis. Kemudian tunjukkan, pengetahuan apa yang telah anda dapatkan setelah melakukan percobaan DFT di atas. Beri contoh memanfaatkan DFT.

7.5 Tugas

1.  Apa yang dimaksud dengan zero padding?

2. Apa pengaruh perbedaan nilai zero padding pada tampilan sinyal dalam domain frekuensi?

3.  Berapa sample yang dipersyaratkan dalam operasi DFT?

4.  Apa perbedaan tampilan nilai frekuensi dalam radiant dan tampilan frekuensi dalam Hz?

5.  Apa yang dimaksud tampilan nilai magnitudo dalam dB?

6. Sebuah system LSI ditunjukkan dengan system LCCDE.

Y(n) = 0,5(n-1) + bx(n)

Tentukan nilai dari b sehingga |H(e^jω)| adalah sama dengan satu pada ω = 0, dan tentukan titik setengah daya ( yaitu frekuensi pada |H(e^jω)|²  adalah sama dengan satu setengah dari nilai puncaknya, yang mana terjadi pada ω = 0.

7. Jika suatu system didefinisikan dengan persamaan diferensial:

y(n) = ay(n-1) + bx(n) + x(n-1)

Dimana a dan b adalah tiel, dan |a|<1. Tentukan hubungan antara a dan b yang harus terjadi jika tanggapan frekuensi harus mempunyai magnitude konstan untuk semua ω, yaitu:

|H(e^jω)| = 1